Matemática

Factorizar formas quadráticas com coeficiente diferente de 1
Lembrar o que é factorização; as propriedades da multiplicação e os critérios de divisibilidade
São 3 passos para expandir a forma quadrática e transformá-la num produto de polinómios
anda daí !
Have Fun
🙂

 

Como factorizar quadráticas
Primeiro relembrar sobre o que é a factorização – um termo da álgebra que consiste na decomposição de cada elemento que integra um produto ou o resultado da multiplicação

E as propriedades da multiplicação
Comutativa, termo neutro, termo nulo, associativa e distributiva
e agora vamos factorizar binómios e formas quadráticas ou polinómios de grau 2 como (x + a) (x + b) de coeficiente de 1 (1x)
anda daí 🙂

 

Como multiplicar binómios
Para multiplicar binómios é importante recordar as 5 propriedades da multiplicação Comutativa, Elemento neutro, Elemento Nulo, Associativa e Distributiva

O objetivo é obter a forma quadrática standard e identificar o padrão da resolução

Como somar e subtraír polinómios ? C
anda daí e tenta resolver antes da proposta de solução
🙂

O que são polinómios ?
O que é um mono/bi/polinómio ?
R: O sufixo nómio significa nome, em matemática designa termo
O prefixo mono significa único
O prefixo bi significa duo ou dois
O prefixo poli significa vários

Se tivéssemos o prefixo tri teríamos 3 vezes qualquer coisa, etc
🙂

 

Exercícios com numerais mistos com propostas de solução
Aceita o desafio e pratica !
🙂

Números mistos e frações impróprias
O que é uma fração imprópria?
R: É quando o numerador é maior ou igual ao denominador
O que é um numeral misto?
R: É um número que possui uma parte inteira e uma parte fracionária
Dicas para fazer operações com numerais mistos

Soma dos ângulos internos dos polígonos
Existem várias maneiras para se chegar à soma dos ângulos de polígonos, como por exemplo:
a) medir com o transferidor cada ângulo e somar as parcelas
b) Traçar diagonais de forma a obter triângulos e por fim multiplicar o número de triângulos obtidos por 180º
c) Aplicar a fórmula (n – 2) x 180º
entre outras ….
neste vídeo vamos abordar a b) e a c)

anda daí 🙂

 

Perguntas de Geometria e propostas de solução
É possível construir um triângulo com as seguintes medidas ? Justifica
Como definimos que as linha s e a linha r são perpendiculares ?
O que é um segmento de reta ?
O que é um círculo ?

 

Exercicios Geometria Plana
Linhas poligonais e Polígonos

Triângulos

“…Figuras retilíneas são as contidas por retas,… triláteras por três …
…das figuras triláteras, por um lado, triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais, e, por outro lado, isósceles, o que tem dois lados iguais, enquanto escaleno, o que tem três lados desiguais;
…ainda das figuras triláteras, por um triângulo retângulo é o que tem um ângulo reto, e, por outro lado, obtusângulo, o que tem um ângulo obtuso, enquanto acutângulo, o que tem três ângulos agudos;…”

Ângulos e Secantes

Como classificar os ângulos ?
R: A partir da sua medição

A unidade de medida do ângulo é o grau que por sua vez se divide em minutos e segundos
a 1 grau corresponde 60 minutos
1º = 60’
e
a 1 minuto (de grau) correspondem 60 segundos
1’ = 60’’
ângulo GIRO ou completo também chamado ângulo de uma volta mede 360º
ângulo RASO mede 180º e os seus lados são semirretas opostas
ângulo OBTUSO mede mais de 90º e menos de 180º
ângulo AGUDO mede mais de 0º e menos de 90º
ângulo RETO mede 90º
Ângulos adjacentes partilham o mesmo vértice e um dos lados
Ângulos suplementares somam 180º
Ângulos complementares somam 90º
2 Ângulos verticalmente opostos têm o mesmo vértice e os lados de um são o prolongamento dos lados do outro – são iguais

O que é uma reta secante?
É uma linha formada por uma infinita quantidade de pontos que se sucedem na mesma direção que corta outra linha/reta ou curva num determinado ponto do plano

Ângulos correspondentes, estão do mesmo lado da reta secante
….

 

Circulo, Triângulo e Quadrilátero

O que é um circulo ?
É a figura plana contida por uma linha chamada circunferência.
O raio é qualquer linha que vai do seu centro até determinado ponto da circunferência
O diâmetro é uma linha ou reta que atravessa o seu centro, limitada pela circunferência e que divide o círculo ao meio formando dois semicírculos

O que é o triângulo ?
É uma figura plana trilátera contida por 3 lados

O que é um quadrilátero ?
É uma figura plana contida por 4 lados ou retas

Operações com décimais – remake parte II

O que é um número decimal ?
R: É qualquer algarismo ou combinação de algarismos, representados com valores diferentes de zero à direita das unidades, depois de uma vírgula (ou ponto em alguns países)

Repara : se à direita da virgula apenas forem acrescentados zeros (0), (valor nulo) então, o número de unidades não altera e por isso a presença da virgula e do(s) 0 (zeros) à direita, é desnecessária
Repara : se à direita da virgula forem acrescentados algarismos iguais com outros diferentes de 0 (zero), então, o número de unidades não se altera pela posição MAS o valor ou quantidade representada MUDA, logo, devem ser representados

zero à esquerda e à direita da virgula – remake (parte I)

Sobre o zero
O que é o zero ?
A palavra significa vazio ou sem conteúdo. É um algarismo e um número que representa o que não tem valor

A origem do zero encontra-se entre 3 povos: babilónios, hindus e maias

Os árabes transcreveram dos hindus e foram adaptados pelos europeus

Leonardo Fibonacci foi o responsável pela divulgação dos algarismos arábicos na Europa (aceites posteriormente)
A partir de 1600, dá-se nova modificação na grafia passando a ter forma oval ”0”, permitindo distinguir da letra “o” minúscula e “O” maiúsculo

Sobre vírgula
O que é a vírgula para a matemática ?
R: Alguns países adotaram o símbolo da vírgula como separador decimal ou marcador decimal (outros adotaram o ponto),
A função do separador decimal (vírgula) é separar o todo ou a parte inteira, de outra parte mais pequena que não chega ao todo

Poligonos e Não Poligonos

Circunferências e Circulos

Definição Euclidiana para polygono
Figura contida numa superfície que tem apenas comprimento e largura, e se encontra limitada por linhas retas
A sucessão de segmentos de reta não colineares, isto é,
não se encontram na mesma reta, forma uma linha
que delimita a superfície da figura bidimensional no plano
ou polígono.
É chamada linha poligonal
Vértices, Diagonais e ângulos internos

Os Não Polígonos também têm vértices, ângulos e diagonais, mas como um ou mais lados que os circunscrevem são linhas curvas

Circunferência e Circulo
Primeira definição (Euclides)
Círculo é uma figura plana contida por uma linha (chamada circunferência), em relação a qual todas as retas que a encontram (até a circunferência do círculo), a partir de um ponto no interior da figura, são iguais entre si;
O ponto é chamado de centro do círculo

Geometria Plana ou Euclidiana
Pontos, retas, segmentos de reta e ângulos e Figuras Geométricas Planas

O que é a Geometria Plana ou Euclidiana ?
R: É a área da Matemática que estuda as figuras geométricas representadas no plano, com 2 dimensões

O que é um ponto ?
R: Um ponto é aquilo de que nada faz parte

O que é uma reta ?
R: É uma linha sem largura, apenas tem comprimento
É um conjunto infinito de pontos alinhados
É sempre representada por letra minúscula

O que é um segmento de reta ?
R: “Dados 2 pontos distintos, há um único segmento de reta que os une”

O que é um ângulo?
R: Ângulo plano é a inclinação entre duas linhas que se tocam e não estão postas sobre uma reta

Sobre Geometria

O que é a Geometria ?
O prefixo Geo significa Terra e metria significa medir.
A Geometria é a área da Matemática que estuda as formas, tamanhos e posições de figuras do espaço.

Sobre a origem da Geometria
No papiro de Rhind ou Ahmes um escriba do antigo Egipto, (1650 a.C.) encontram-se 85 problemas de aritmética, áreas e volumes.
Os babilónicos, conheciam as regras gerais para áreas e volumes, e o teorema de Pitágoras. A milha babilónica é uma medida de distância igual a cerca de 7 milhas atuais.
O período védico (1000 a.C.) teve uma forte ligação à Geometria pela construção de altares bastante sofisticados (Índia)
Na antiga Grécia, a partir de 500 a.C., os matemáticos filósofos ampliaram a dimensão da Geometria para outros tipos de números, curvas, sólidos, superfícies.
Desenvolveram o método axiomático ainda hoje utilizado.
Euclides (Alexandria 325-265), considerado o pai da Geometria devido ao tratado em 13 capítulos que publica com o nome “Os Elementos da Geometria”, construído de forma axiomática e viria a ser conhecido pela Geometria Euclidiana.

 

Exercícios de treino com os pontos de interseção da reta

Interseção da Reta
O que é a interseção da reta ?
É o ponto de cruzamento da reta com as variáveis (x,y), quando uma é zero
Considera a seguinte equação da reta ou equação linear
….

A equação linear tem diversas formas de expressão algébrica, mas as principais são:

ponto e declive

declive e interceção em y com x = 0

formato padrão ou standard

As 3 principais formas da equação linear

Exemplos

Determina a expressão algébrica e representa no gráfico:
tem declive 2 e contém o ponto (0, 3)
tem declive – 3 e contém o ponto (0, 3)
tem declive – 2 e contém o ponto (0, – 3)

Equação Linear
O declive
Vimos que uma equação linear é uma forma de representar uma reta no plano cartesiano
Podemos observar que a diferença entre as retas é dada pela variação do declive, que pode ser mais ou menos acentuado relativamente ao plano cartesiano
O declive da reta surge apenas nas equações lineares expressas da seguinte forma:

y = mx + b

Equação Linear

O que é a equação linear?
R: É uma forma de representar uma reta no plano cartesiano

Uma equação linear é composta por uma constante e por uma variável que multiplica por uma constante, elevada à potência 1

Podemos traçar a reta a partir da equação, atribuindo valores a x e assim encontrar os pares das ordenadas, ou, através dos pontos de interceção, isto é, onde a reta converge quando x e y estão em 0

Fatorização
A fatorização é muito útil porque ajuda a transformar muitos polinómios ou expressões quadráticas num produto de 2 ou mais polinómios

A factorização é muito útil para simplificar radicais e para resolver operações em IR
Observa os exemplos e as propostas de solução

O que é a fatorização?
É um termo da álgebra que consiste na decomposição de cada elemento que integra um produto, ou seja, o resultado de uma multiplicação.
A factorização permite simplificar fórmulas matemáticas em que ocorre a multiplicação, nomeadamente equações

A Raiz Quadrada
O que é a raiz quadrada ?Podemos começar por dizer que a raiz quadrada é uma função de um número X positivo, que quando multiplicado por si próprio se iguala a X.

Por convenção, a raiz quadrada ou raiz quadrada positiva também designada por raiz principal, porque o resultado é sempre um único valor

Exemplos de Notação Científica
Observa alguns exemplos e a forma como se podem escrever em notação científica

Potência de base dez e Notação Científica
A potência é o número de vezes que o 10 se multiplica.

A Notação Científica acontece sempre que:
a potência é um número inteiro (positivo ou negativo)
a base é um número inteiro ou decimal menor que 10 e maior ou igual a 1

exercícios práticos com propostas de solução

 

O que é a solução recursiva para sequências aritméticas?
R: Consiste na expansão da sequência por termo e ordem com base no 1º termo da sequência e o padrão ou lei explícita que permitirá saber o termo imediatamente anterior.

O que é a sequência de Fibonacci ?
R: É uma lista de números inteiros, na qual cada termo subsequente é igual à soma dos 2 anteriores.
Em 1202, Leonardo Pisa, mais conhecido por Fibonacci (1170-1250) descreveu o crescimento de uma população de coelhos a partir desta sequência, que ficaria conhecida desde então com o seu nome, apesar de já ser conhecida na antiguidade

O que é um referencial ?
R: É um sistema de coordenadas utilizado para medir grandezas
E cartesiano ?
R: É uma expressão que designa caraterísticas excessivamente racionais e metódicas da autoria do filósofo e matemático René Descartes

Sequência é uma lista de elementos ordenados, segundo um determinado padrão ou lei de formação, composta por termos a que corresponde uma posição ou ordem
Sucessão é uma lista de elementos ordenados, segundo um determinado padrão ou lei de formação, composta por termos infinitos que correspondem a uma posição ou ordem

A expressão numérica não estabelece uma igualdade. É muito útil para resolver problemas do dia a dia (quotidiano), pois conhecendo as operações básicas (multiplicar, dividir, somar e subtraír), é possível colocar os dados num modelo matemático – expressão numérica, e efetuar os cálculos para resolução

A equação estabelece uma igualdade ou equivalência, que pode ser classificada em possível (determinada ou indeterminada) ou impossível. É muito útil para resolver problemas, em particular quando envolve elementos desconhecidos ou incógnitas, onde também se ajustam cálculas com as operações básicas, e ainda se é preciso identificar níveis de equivalência

Símbolos da multiplicação
O que é o sinal da multiplicação ?
R: É o símbolo utilizado para representar a operação da multiplicação, que, por sua vez nasce da necessidade de simplificar somas sucessivas do mesmo número

Equações com parênteses
Na resolução de equações com parênteses, 
usa-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou à subtração

O que é uma equação ?
R: Diz-se do argumento em que 2 expressões numéricas têm o mesmo resultado, e, habitualmente envolve uma ou mais incógnitas

Princípio de equivalência da Multiplicação

Se multiplicarmos ou dividírmos ambos os membros de uma equação, por um número diferente de zero, obtemos uma equação equivalente

Potências de expoente positivo e negativo.
Potência é a operação que representa a multiplicação sucessiva do mesmo número

O que é o logarítmo ?
R: Podemos dizer que é uma maneira diferente de conhecer a potência, e representa-se com as letras log

O logarítmo surgiu da necessidade de simplificação de alguns cálculos matemáticos, pois permite transformar grandes e complexas operações de multiplicação e divisão, em simples operações de soma e subtração

O que são equações equivalentes?
R: Do latim equatione significa igualar e equivalente quer dizer que envolve uma raiz ou solução comum

 

Como se classificam as equações e porque são equivalentes

O que é o Teorema de Tales ?
R: O teorema ou afirmação de Tales é considerado um dos seus trabalhos notáveis que dizem o seguinte :

os comprimentos dos segmentos de reta determinados em duas retas concorrentes por um par de retas paralelas situadas no mesmo plano são diretamente proporcionais

O que é uma função de proporcionalidade direta ?
R: É uma relação entre 2 variáveis que evolui segundo uma determinada constante

O que é uma função ?
A função é a correspondência ou aplicação dos elementos de um conjunto A em relação a um outro conjunto B, isto é, a cadaelemento de A se associa um e só um elemento de B
Como representar funções ?

O que é um gráfico ?
R: É a representação de dados obtidos sobre uma variável independente em relação a outra variável dependente

Entre os principais objetivos de um gráfico  temos:

– observação de dados já conhecidos (evidentes)

– análise de dados desconhecidos (não evidentes)

– análise da evolução dos dados

– análise do tipo de correlação entre as variáveis  (independente e dependente)

– estudo de hipóteses

– ….

O que é uma potência de base Racional e expoente Natural ?
R: A potência de base racional é produto de números iguais que podem ser negativos, positivos, quocientes ou razões, décimais, raízes perfeitas e o expoente Natural corresponde ao número positivo de vezes que ocorre

O que são os números divisíveis por pares ?
São conjuntos de um ou mais algarismos que reunem critérios específicos para serem distribuídos /divididos por cada número par

O que são os números divisíveis por ímpares ?
São conjuntos de um ou mais algarismos que reunem
critérios específicos para serem distribuídos /divididos
por cada número ímpar

Aqui estão 2 propostas para ajudar a resolver equações

e um desafio …

Equações Equivalentes
Exercício com proposta de solução

Equações Lineares

3 exercícios com proposta de solução
experimenta !!

Forma canónica de funções

3 exercícios com proposta de solução

Sobre a Origem dos Números

Escrita Antiga

Classes de números

Simétrico e Inverso

Noção de números décimais

O zero à esquerda e à direita da vírgula

Contas com positivos décimais

Dividir fracções

Multiplicar frações

Dicas sobre equações de 1º e expressões numéricas

Perímetro, Área e Volume

Dicas sobre potências e radicais

Dicas sobre domínio e contra-domínio em funções

Noção de Pi e aplicabilidade

PEDAÇOS DE SABER

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